문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 비에트의 정리 (문단 편집) == 정리 == ||체 [math(F)] 위에서 차수 [math(n)]의 다항식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_0)]}}} 의 근이 중복을 포함하여 [math(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)]으로 나타난다고 했을 때, 각각의 계수 [math(a_k)]는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.(단, [math(0 \le k \le n)]) {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} \alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_k})]}}} 위 식의 우변은 n개의 수 [math(\alpha_1,\, \alpha_2,\, \cdots,\, \alpha_n)] 중 서로 다른 [math(k)]개를 선택해서 곱한 것의 총합으로, 보통 '''기본 대칭다항식'''(elementary symmetric polynomial)이라고 하고 [math(s_k(\alpha_1, \,\cdots,\, \alpha_n))]으로 표기한다. || 비에타 정리의 특별한 경우로 n차방정식의 모든 근의 합은 [math(-a_{n-1}/a_n)], 모든 근의 곱은 [math((-1)^n a_0/a_n)]이 된다. 정리의 증명은 방정식의 인수분해 형태 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_n (x- \alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x - \alpha_n))]}}} 에서 양변의 [math(x^{n-k})]의 계수를 비교하면 된다. 우변을 전개했을 때의 곱에서는 [math(x)]가 [math((n-k))]번 선택되어야 하므로 근 [math(\alpha_i)] 중에서 [math(k)]개가 선택되고, 이들 중 서로 다른 것을 선택해 곱하므로 대칭다항식이 등장하는 것. 부호 [math((-1)^k)] 부분은 [math((-\alpha_i))]들을 [math(k)]번 곱하게 되는 과정에서 등장한다. 어떻게 보면 이항정리의 증명과 상당히 유사한 점이 있다. ([math(\alpha_1 = \cdots = \alpha_n)]이면 실제로 [[이항정리]]가 되기는 한다.) 주의할 점은 비에트의 정리는 실근뿐만이 아니라 모든 근에 적용된다는 것이다. 괜히 '실근과 계수의 관계'가 아니라 '근과 계수의 관계'라고 하는 것이 아니다. 또한 [math(n)]중근이 있으면 같은 근이 [math(n)]개 있다고 생각하고 적용해야 한다. 예를 들어 삼차방정식의 중근이 2이고 단일근이 3이면 근과 계수의 관계를 통해 구한 모든 근의 합은 2+3=5가 아닌 2+2+3=7, 모든 근의 곱은 2×3=6이 아닌 2×2×3=12인 것이다. 비에타 정리에서 등장하는 기본 대칭다항식은 [[대칭식|대칭다항식]] 연구에서 매우 중요한 역할을 하는데, 이러한 근들에 대한 모든 대칭다항식은 우리가 어떠한 대칭다항식으로 나타낼 수 있느냐고 한다면 기본 대칭다항식에 대한 다항식으로 나타낼 수 있기 때문이다. 이차방정식의 경우 두 근 [math(\alpha, \beta)]에 대한 다항식 중 [math(\alpha \leftrightarrow \beta)] 치환에 대해 동일한 모든 다항식은 [math(\alpha+\beta)], [math( \alpha \beta)]의 다항식으로 나타낼 수 있다. 이 근과 계수들로 근 [math(\alpha_k)]의 [math(m)]제곱의 합을 구하는 항등식을 우리는 뉴턴 항등식이라 한다. 그리고 일반 항등식들과 같이 뉴턴 항등식(Newton's identity) 등의 다양한 공식들도 존재하고, 한편으로는 갈루아 이론을 이러한 대칭다항식 관점에서 생각하는 방법도 있다. 비에타 정리는 이외에도 행렬의 특성다항식 등등 [math(n)]차방정식을 다루는 많은 상황에 쓰인다. [include(틀:문서 가져옴, title=비에트의 정리, version=77)]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기